2021年度天津市高考理科数学真题及详细解答解析版学生版精校版

爱问共享资料2021年度天津市高考理科数学真题及详细解答解析版学生版精校版文档免费下载,数万用户每天上传大量最新资料,数量累计超一个亿 ,天津市高考数学试卷(理科)一、选取题(共8小题,每小题5分)1.(5分)i是虚数单位,复数=()A.1﹣iB.﹣1+iC.+iD.﹣+i2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目的函数z=x+2y最小值为()A.2B.3C.4D.53.(5分)阅读如图程序框图,运营相应程序,输出S值为()A.15B.105C.245D.9454.(5分)函数f(x)=log(x2﹣4)单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(﹣∞,0)C.(2,+∞)D.(﹣∞,﹣2)5.(5分)已知双曲线)一条渐近线平行…

天津市高考数学试卷(理科)一、选取题(共8小题,每小题5分)1.(5分)i是虚数单位,复数=()A.1﹣iB.﹣1+iC.+iD.﹣+i2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目的函数z=x+2y最小值为()A.2B.3C.4D.53.(5分)阅读如图程序框图,运营相应程序,输出S值为()A.15B.105C.245D.9454.(5分)函数f(x)=log(x2﹣4)单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(﹣∞,0)C.(2,+∞)D.(﹣∞,﹣2)5.(5分)已知双曲线,双曲线一种焦点在直线l上,则双曲线分)如图,△ABC是圆内接三角形,∠BAC平分线交圆于点D,交BC于E,过点B圆切线与AD延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分∠CBF;②FB2=FD•FA;③AE•CE=BE•DE;④AF•BD=AB•BF.所有对的结论序号是()A.①②B.③④C.①②③D.①②④7.(5分)设a,b∈R,则“a>b”是“aa>bb”()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.(5分)已知菱形ABCD边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,=λ,=μ,若•=1,•=﹣,则λ+μ=()A.B.C.D.二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.(5分)某大学为理解在校本科生对参加某项社会实践活动意向,拟采用分层抽样方向,从该校四个年级本科生中抽取一种容量为300样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取名学生.10.(5分)一种几何体三视图如图所示(单位:m),则该几何体体积为m3.11.(5分)设{an}是首项为a1,公差为﹣1等差数列,Sn为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1值为.12.(5分)在△ABC中,内角A,B,C所对边分别是a,b,c,已知b﹣c=a,2sinB=3sinC,则cosA值为.13.(5分)在以O为极点极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点,若△AOB是等边三角形,则a值为.14.(5分)已知函数f(x)=x2+3x,x∈R,若方程f(x)﹣ax﹣1=0恰有4个互异实数根,则实数a取值范畴为.三、解答题(共6小题,共80分)15.(13分)已知函数f(x)=cosx•sin(x+)﹣cos2x+,x∈R.(Ⅰ)求f(x)最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在闭区间[﹣,]上最大值和最小值.16.(13分)某大学志愿者协会有6名男同窗,4名女同窗,在这10名同窗中,3名同窗来自数学学院,别的7名同窗来自物理、化学等其她互不相似七个学院,现从这10名同窗中随机选用3名同窗,到但愿小学进行支教活动(每位同窗被选到也许性相似).(Ⅰ)求选出3名同窗是来自互不相似窗院概率;(Ⅱ)设X为选出3名同窗中女同窗人数,求随机变量X分布列和数学盼望.17.(13分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC中点.(Ⅰ)证明:BE⊥DC;(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角正弦值;(Ⅲ)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F﹣AB﹣P余弦值.18.(13分)设椭圆+=1(a>b>0)左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,已知AB=F1F2.(Ⅰ)求椭圆离心率;(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点一点,以线段PB为直径圆通过点F1,通过原点O直线l与该圆相切,求直线分)已知q和n均为给定不不大于1自然数,设集合M={0,1,2,…,q﹣1},集合A={xx=x1+x2q+…+xnqn﹣1,xi∈M,i=1,2,…n}.(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表达集合A;(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn﹣1,t=b1+b2q+…+bnqn﹣1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an<bn,则s<t.20.(14分)设f(x)=x﹣aex(a∈R),x∈R,已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1<x2.(Ⅰ)求a取值范畴;(Ⅱ)证明:随着a减小而增大;(Ⅲ)证明x1+x2随着a减小而增大.天津市高考数学试卷(理科)参照答案与试题解析一、选取题(共8小题,每小题5分)1.(5分)i是虚数单位,复数=()A.1﹣iB.﹣1+iC.+iD.﹣+i【考点】A5:复数运算.菁优网版权所有【专项】5N:数系扩充和复数.【分析】将复数分子与分母同步乘以分母共轭复数3﹣4i,即求出值.【解答】解:复数==,故选:A.

【点评】本题考查了复数运算法则和共轭复数意义,属于基本题.2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目的函数z=x+2y最小值为()A.2B.3C.4D.5【考点】7C:简朴线性规划.菁优网版权所有【专项】59:不等式解法及应用.【分析】作出不等式相应平面区域,运用线性规划知识,通过平移即可求z最大值.【解答】解:作出不等式相应平面区域,由z=x+2y,得y=﹣,平移直线y=﹣,由图象可知当直线)时,直线y=﹣截距最小,此时z最小.此时z最小值为z=1+2×1=3,故选:B.【点评】本题重要考查线性规划应用,运用数形结合是解决线分)阅读如图程序框图,运营相应程序,输出S值为()A.15B.105C.245D.945【考点】EF:程序框图.菁优网版权所有【专项】5K:算法和程序框图.【分析】算法功能是求S=1×3×5×…×(2i+1)值,依照条件拟定跳出循环i值,计算输出S值.【解答】解:由程序框图知:算法功能是求S=1×3×5×…×(2i+1)值,∵跳出循环i值为4,∴输出S=1×3×5×7=105.故选:B.【点评】本题考查了直到型循环构造程序框图,依照框图流程判断算法功能是解答本题核心.4.(5分)函数f(x)=log(x2﹣4)单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(﹣∞,0)C.(2,+∞)D.(﹣∞,﹣2)【考点】3G:复合函数单调性.菁优网版权所有【专项】51:函数性质及应用.【分析】令t=x2﹣4>0,求得函数f(x)定义域为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞),且函数f(x)=g(t)=logt.依照复合函数单调性,本题即求函数t在(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)上减区间.再运用二次函数性质可得,函数t在(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)上减区间.【解答】解:令t=x2﹣4>0,可得x>2,或x<﹣2,故函数f(x)定义域为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞),当x∈(﹣∞,﹣2)时,t随x增大而减小,y=logt随t减小而增大,因此y=log(x2﹣4)随x增大而增大,即f(x)在(﹣∞,﹣2)上单调递增.故选:D.【点评】本题重要考查复合函数单调性,二次函数性质,体现了转化数学思想,属于中档题.5.(5分)已知双曲线,双曲线一种焦点在直线l上,则双曲线【考点】KB:双曲线原则方程.菁优网版权所有【专项】5D:圆锥曲线定义、性质与方程.【分析】先求出焦点坐标,运用双曲线,求出a,b,即可求出双曲线方程.【解答】解:∵双曲线),∴c=5,∵双曲线,b2=20,∴双曲线.故选:A.【点评】本题考查双曲线方程与性质,考查学生计算能力,属于中档题.6.(5分)如图,△ABC是圆内接三角形,∠BAC平分线交圆于点D,交BC于E,过点B圆切线与AD延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分∠CBF;②FB2=FD•FA;③AE•CE=BE•DE;④AF•BD=AB•BF.所有对的结论序号是()A.①②B.③④C.①②③D.①②④【考点】2K:命题真假判断与应用;NC:与圆关于比例线段.菁优网版权所有【专项】5B:直线与圆.【分析】本题运用角与弧关系,得到角相等,再运用角相等推导出三角形相似,得到边成比例,即可选出本题选项.【解答】解:∵圆周角∠DBC相应劣弧CD,圆周角∠DAC相应劣弧CD,∴∠DBC=∠DAC.∵弦切角∠FBD相应劣弧BD,圆周角∠BAD相应劣弧BD,∴∠FBD=∠BAF.∵AD是∠BAC平分线,∴∠BAF=∠DAC.∴∠DBC=∠FBD.即BD平分∠CBF.即结论①对的.又由∠FBD=∠FAB,∠BFD=∠AFB,得△FBD~△FAB.由,FB2=FD•FA.即结论②成立.由,得AF•BD=AB•BF.即结论④成立.对的结论有①②④.故选:D.【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧关系,还考查了三角形相似知识,本题总体难度不大,属于基本题.7.(5分)设a,b∈R,则“a>b”是“aa>bb”()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件.菁优网版权所有【专项】5L:简易逻辑.【分析】依照不等式性质,结合充分条件和必要条件定义进行判断即可得到结论.【解答】解:若a>b,①a>b≥0,不等式aa>bb等价为a•a>b•b,此时成立.②0>a>b,不等式a

a>bb等价为﹣a•a>﹣b•b,即a2<b2,此时成立.③a≥0>b,不等式aa>bb等价为a•a>﹣b•b,即a2>﹣b2,此时成立,即充分性成立.若aa>bb,①当a>0,b>0时,aa>bb去掉绝对值得,(a﹣b)(a+b)>0,由于a+b>0,因此a﹣b>0,即a>b.②当a>0,b<0时,a>b.③当a<0,b<0时,aa>bb去掉绝对值得,(a﹣b)(a+b)<0,由于a+b<0,因此a﹣b>0,即a>b.即必要性成立,综上“a>b”是“aa>bb”充要条件,故选:C.【点评】本题重要考查充分条件和必要条件判断,运用不等式性质结合分类讨论是解决本题核心.8.(5分)已知菱形ABCD边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,=λ,=μ,若•=1,•=﹣,则λ+μ=()A.B.C.D.【考点】9O:平面向量数量积性质及其运算.菁优网版权所有【专项】5A:平面向量及应用.【分析】运用两个向量加减法法则,以及其几何意义,两个向量数量积定义由•=1,求得4λ+4μ﹣2λμ=3①;再由•=﹣,求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②.结合①②求得λ+μ值.【解答】解:由题意可得若•=(+)•(+)=+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1,∴4λ+4μ﹣2λμ=3①.•=﹣•(﹣)==(1﹣λ)•(1﹣μ)=(1﹣λ)•(1﹣μ)=(1﹣λ)(1﹣μ)×2×2×cos120°=(1﹣λ﹣μ+λμ)(﹣2)=﹣,即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②.由①②求得λ+μ=,故选:C.【点评】本题重要考查两个向量加减法法则,以及其几何意义,两个向量数量积定义,属于中档题.二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.(5分)某大学为理解在校本科生对参加某项社会实践活动意向,拟采用分层抽样方向,从该校四个年级本科生中抽取一种容量为300样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取60名学生.【考点】B3:分层抽样办法.菁优网版权所有【专项】5I:概率与记录.【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数比例,再用样本容量乘以该比列,即为所求.【解答】解:依照分层抽样定义和办法,一年级本科生人数所占比例为=,故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60,故答案为:60.【点评】本题重要考查分层抽样定义和办法,运用了总体中各层个体数之比等于样本中相应各层样本数之比,属于基本题.10.(5分)一种几何体三视图如图所示(单位:m),则该几何体体积为m3.【考点】L!:由三视图求面积、体积.菁优网版权所有【专项】5Q:立体几何.【分析】几何体是圆锥与圆柱组合体,判断圆柱与圆锥高及底面半径,代入圆锥与圆柱体积公式计算.【解答】解:由三视图知:几何体是圆锥与圆柱组合体,其中圆柱高为4,底面直径为2,圆锥高为2,底面直径为4,∴几何体体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π.故答案为:.【点评】本题考查了由三视图求几何体体积,依照三视图判断几何体形状及数据所相应几何量是解题核心.11.(5分)设{an}是首项为a1,公差为﹣1等差数列,Sn为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1值为﹣.【考点】87:等比数列性质.菁优网版权所有【专项】54:等差数列与等比数列.【分析】由条件求得,Sn=,再依照S1,S2,S4成等比数列,可得=S1•S4,由此求得a1值.【解答】解:由题意可得,an=a1+(n﹣1)(﹣1)=a1+1﹣n,Sn==,再依照若S1,S2,S4成等比数列,可得=S1•S4,即=a1•(4a1﹣6),解得a1=﹣,故答案为:﹣.【点评】本题重要考查等差数列前n项和公式,等比数列定义和性质,属于中档题.12.(5分)在△ABC中,内角A,B,C所对边分别是a,b,c,已知b﹣c=a,2sinB=3sinC,则cosA值为﹣.【考点】HP:正弦定理;HR:余弦定理.菁优网版权所有【专项】58:解三角形.【分析】由条件运用正弦定理求得a=2c,b=,再由余弦定理求得cosA=值.【解答】解:在△ABC中,∵b﹣c=a①,2sinB=3sinC,∴2b=3c②,∴由①②可得a=2c,b=.再由余弦定理可得cosA===﹣,故答案为:﹣.【点评】本题重要考查正弦定理、余弦定理应用,属于中档题.13.(5分)在以O为极点极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点,若△AOB是等边三角形,则a值为3.【考点】Q4:简朴曲线极坐标方程.菁优网版权所有【专项】5S:坐标系和参数方程.【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程,求出B坐标值,代入x2+(y﹣2)2=4,可得a值.【解答】解

:直线ρsinθ=a即y=a,(a>0),曲线)为圆心,以2为半径圆,∵△AOB是等边三角形,∴B(a,a),代入x2+(y﹣2)2=4,可得(a)2+(a﹣2)2=4,∵a>0,∴a=3.故答案为:3.【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程办法,直线和圆位置关系,求出B坐标是解题核心,属于基本题.14.(5分)已知函数f(x)=x2+3x,x∈R,若方程f(x)﹣ax﹣1=0恰有4个互异实数根,则实数a取值范畴为(0,1)∪(9,+∞).【考点】53:函数零点与方程根关系.菁优网版权所有【专项】51:函数性质及应用.【分析】由y=f(x)﹣ax﹣1=0得f(x)=ax﹣1,作出函数y=f(x),y=ax﹣1图象运用数形结合即可得到结论.【解答】解:由y=f(x)﹣ax﹣1=0得f(x)=ax﹣1,作出函数y=f(x),y=g(x)=ax﹣1图象,当a≤0,两个函数图象不也许有4个交点,不满足条件,则a>0,此时g(x)=ax﹣1=,当﹣3<x<0时,f(x)=﹣x2﹣3x,g(x)=﹣a(x﹣1),当直线和抛物线相切时,有三个零点,此时﹣x2﹣3x=﹣a(x﹣1),即x2+(3﹣a)x+a=0,则由△=(3﹣a)2﹣4a=0,即a2﹣10a+9=0,解得a=1或a=9,当a=9时,g(x)=﹣9(x﹣1),g(0)=9,此时不成立,∴此时a=1,要使两个函数有四个零点,则此时0<a<1,若a>1,此时g(x)=﹣a(x﹣1)与f(x),有两个交点,此时只需要当x>1时,f(x)=g(x)有两个不同零点即可,即x2+3x=a(x﹣1),整顿得x2+(3﹣a)x+a=0,则由△=(3﹣a)2﹣4a>0,即a2﹣10a+9>0,解得a<1(舍去)或a>9,综上a取值范畴是(0,1)∪(9,+∞),办法2:由f(x)﹣ax﹣1=0得f(x)=ax﹣1,若x=1,则4=0不成立,故x≠1,则方程等价为a====x﹣1++5,设g(x)=x﹣1++5,当x>1时,g(x)=x﹣1++5≥,当且仅当x﹣1=,即x=3时取等号,当x<1时,g(x)=x﹣1++5=5﹣4=1,当且仅当﹣(x﹣1)=﹣,即x=﹣1时取等号,则g(x)图象如图:若方程f(x)﹣ax﹣1=0恰有4个互异实数根,则满足a>9或0<a<1,故答案为:(0,1)∪(9,+∞)【点评】本题重要考查函数零点个数应用,运用数形结合是解决本题核心,综合性较强,难度较大.三、解答题(共6小题,共80分)15.(13分)已知函数f(x)=cosx•sin(x+)﹣cos2x+,x∈R.(Ⅰ)求f(x)最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在闭区间[﹣,]上最大值和最小值.【考点】GL:三角函数中恒等变换应用;H1:三角函数周期性.菁优网版权所有【专项】57:三角函数图像与性质.【分析】(Ⅰ)依照两角和差正弦公式、倍角公式对解析式进行化简,再由复合三角函数周期公式求出此函数最小正周期;(Ⅱ)由(Ⅰ)化简函数解析式和条件中x范畴,求出范畴,再运用正弦函数性质求出再已知区间上最大值和最小值.【解答】解:(Ⅰ)由题意得,f(x)=cosx•(sinxcosx)====因此,f(x)最小正周期=π.(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=,由x∈[﹣,]得,2x∈[﹣,],则∈[,],∴当=﹣时,即=﹣1时,函数f(x)取到最小值是:,当=时,即=时,f(x)取到最大值是:,因此,所求最大值为,最小值为.【点评】本题考查了两角和差正弦公式、倍角公式,正弦函数性质,以及复合三角函数周期公式应用,考查了整体思想和化简计算能力,属于中档题.16.(13分)某大学志愿者协会有6名男同窗,4名女同窗,在这10名同窗中,3名同窗来自数学学院,别的7名同窗来自物理、化学等其她互不相似七个学院,现从这10名同窗中随机选用3名同窗,到但愿小学进行支教活动(每位同窗被选到也许性相似).(Ⅰ)求选出3名同窗是来自互不相似窗院概率;(Ⅱ)设X为选出3名同窗中女同窗人数,求随机变量X分布列和数学盼望.【考点】CB:古典概型及其概率计算公式;CG:离散型随机变量及其分布列;CH:离散型随机变量盼望与方差.菁优网版权所有【专项】5I:概率与记录.【分析】(Ⅰ)运用排列组合求出所有基本领件个数及选出3名同窗是来自互不相似窗院基本领件个数,代入古典概型概率公式求出值;(Ⅱ)随机变量X所有也许值为0,1,2,3,(k=0,1,2,3)列出随机变量X分布列求出盼望值.【解答】(Ⅰ)解:设“选出3名同窗是来自互不相似窗院”为事件A,则,因此选出3名同窗是来自互不相似窗院概率为.(Ⅱ)解:随机变量X所有也许值为0,1,2,3,(k=0,1,2,3)因此随机变量X分布列是X0123

P随机变量X数学盼望.【点评】本题考查古典概型及其概率公式,互斥事件,离散型随机变量分布列与数学盼望,考查应用概率解决实际问题能力.17.(13分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC中点.(Ⅰ)证明:BE⊥DC;(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角正弦值;(Ⅲ)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F﹣AB﹣P余弦值.【考点】MI:直线与平面所成角;MJ:二面角平面角及求法.菁优网版权所有【专项】5F:空间位置关系与距离;5G:空间角;5H:空间向量及应用;5Q:立体几何.【分析】(I)以A为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,求出BE,DC方向向量,依照•=0,可得BE⊥DC;(II)求出平面PBD一种法向量,代入向量夹角公式,可得直线BE与平面PBD所成角正弦值;(Ⅲ)依照BF⊥AC,求出向量坐标,进而求出平面FAB和平面ABP法向量,代入向量夹角公式,可得二面角F﹣AB﹣P余弦值.【解答】证明:(I)∵PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,以A为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,∵AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC中点.∴B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1)∴=(0,1,1),=(2,0,0)∵•=0,∴BE⊥DC;(Ⅱ)∵=(﹣1,2,0),=(1,0,﹣2),设平面PBD法向量=(x,y,z),由,得,令y=1,则=(2,1,1),则直线BE与平面PBD所成角θ满足:sinθ===,故直线BE与平面PBD所成角正弦值为.(Ⅲ)∵=(1,2,0),=(﹣2,﹣2,2),=(2,2,0),由F点在棱PC上,设=λ=(﹣2λ,﹣2λ,2λ)(0≤λ≤1),故=+=(1﹣2λ,2﹣2λ,2λ)(0≤λ≤1),由BF⊥AC,得•=2(1﹣2λ)+2(2﹣2λ)=0,解得λ=,即=(﹣,,),设平面FBA法向量为=(a,b,c),由,得令c=1,则=(0,﹣3,1),取平面ABP法向量=(0,1,0),则二面角F﹣AB﹣P平面角α满足:cosα===,故二面角F﹣AB﹣P余弦值为:【点评】本题考查知识点是空间二面角平面角,建立空间坐标系,将二面角问题转化为向量夹角问题,是解答核心.18.(13分)设椭圆+=1(a>b>0)左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,已知AB=F1F2.(Ⅰ)求椭圆离心率;(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点一点,以线段PB为直径圆通过点F1,通过原点O直线l与该圆相切,求直线l斜率.【考点】KH:直线与圆锥曲线综合.菁优网版权所有【专项】5D:圆锥曲线定义、性质与方程.【分析】(Ⅰ)设椭圆右焦点为F2(c,0),由AB=F1F2.可得,再运用b2=a2﹣c2,e=即可得出.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得b2=c2.可设椭圆方程为,设P(x0,y0),由F1(﹣c,0),B(0,c),可得,.运用圆性质可得,于是=0,得到x0+y0+c=0,由于点P在椭圆上,可得.联立可得=0,解得P.设圆心为T(x1,y1),运用中点坐标公式可得T,运用两点间距离公式可得圆半径r.设直线l方程为:y=kx.运用直线与圆相切性质即可得出.【解答】解:(Ⅰ)设椭圆右焦点为F2(c,0),由AB=F1F2,可得,化为a2+b2=3c2.又b2=a2﹣c2,∴a2=2c2.∴e=.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得b2=c2.因而椭圆方程为.设P(x0,y0),由F1(﹣c,0),B(0,c),可得=(x0+c,y0),=(c,c).∵,∴=c(x0+c)+cy0=0,∴x0+y0+c=0,∵点P在椭圆上,∴.联立,化为=0,∵x0≠0,∴,代入x0+y0+c=0,可得.∴P.设圆心为T(x1,y1),则=﹣,=.∴T,∴圆半径r==.设直线l斜率为k,则直线l方程为:y=kx.∵直线l与圆相切,∴,整顿得k2﹣8k+1=0,解得.∴直线l斜率为.【点评】本题中考查了椭圆与圆原则方程及其性质、点与椭圆位置关系、直线与圆相切问题、点到直线距离公式、中点坐标公式等基本知识与基本技能办法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.19.(14分)已知q和n均为给定不不大于1自然数,设集合M={0,1,2,…,q﹣1},集合A={xx=x1+x2q+…+xnqn﹣1,xi∈M,i=1,2,…n}.(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表达集合A;(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn﹣1,t=b1+b2q+…+bnqn﹣1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an<bn,则s<t.【考点】8E:数列求和;8K:数列与不等式综合.菁优网版权所有【专项】54:等差数列与等比数列;55:点列、递归数列与数学归纳法.【分析】(Ⅰ)当q=2,n

=3时,M={0,1},A={xx=x1+x2•2+x3•22,xi∈M,i=1,2,3}.即可得到集合A.(Ⅱ)由于ai,bi∈M,i=1,2,…,n.an<bn,可得an﹣bn≤﹣1.由题意可得s﹣t=(a1﹣b1)+(a2﹣b2)q+…+(an﹣1﹣bn﹣1)qn﹣2+(an﹣bn)qn﹣1≤(q﹣1)+(q﹣1)q+…+(q﹣1)qn﹣2﹣qn﹣1再运用等比数列前n项和公式即可得出.【解答】(Ⅰ)解:当q=2,n=3时,M={0,1},A={xx=x1+x2•2+x3•22,xi∈M,i=1,2,3}.可得A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(Ⅱ)证明:由设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn﹣1,t=b1+b2q+…+bnqn﹣1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.an<bn,∴s﹣t=(a1﹣b1)+(a2﹣b2)q+…+(an﹣1﹣bn﹣1)qn﹣2+(an﹣bn)qn﹣1≤(q﹣1)+(q﹣1)q+…+(q﹣1)qn﹣2﹣qn﹣1=(q﹣1)(1+q+…+qn﹣2)﹣qn﹣1=﹣qn﹣1=﹣1<0.∴s<t.【点评】本题考查了考查了集合运算及其性质、等比数列前n项和公式、不等式基本性质等基本知识与基本技能办法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.20.(14分)设f(x)=x﹣aex(a∈R),x∈R,已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1<x2.(Ⅰ)求a取值范畴;(Ⅱ)证明:随着a减小而增大;(Ⅲ)证明x1+x2随着a减小而增大.【考点】52:函数零点鉴定定理;6B:运用导数研究函数单调性.菁优网版权所有【专项】53:导数综合应用.【分析】(Ⅰ)对f(x)求导,讨论f′(x)正负以及相应f(x)单调性,得出函数y=f(x)有两个零点等价条件,从而求出a取值范畴;(Ⅱ)由f(x)=0,得a=,设g(x)=,鉴定g(x)单调性即得证;(Ⅲ)由于x1=a,x2=a,则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln,令=t,整顿得到x1+x2=,令h(x)=,x∈(1,+∞),得到h(x)在(1,+∞)上是增函数,故得到x1+x2随着t减小而增大.再由(Ⅱ)知,t随着a减小而增大,即得证.【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=x﹣aex,∴f′(x)=1﹣aex;下面分两种状况讨论:①a≤0时,f′(x)>0在R上恒成立,∴f(x)在R上是增函数,不合题意;②a>0时,由f′(x)=0,得x=﹣lna,当x变化时,f′(x)、f(x)变化状况如下表:x(﹣∞,﹣lna)﹣lna(﹣lna,+∞)f′(x)+0﹣f(x)递增极大值﹣lna﹣1递减∴f(x)单调增区间是(﹣∞,﹣lna),减区间是(﹣lna,+∞);∴函数y=f(x)有两个零点等价于如下条件同步成立:①f(﹣lna)>0;②存在s1∈(﹣∞,﹣lna),满足f(s1)<0;③存在s2∈(﹣lna,+∞),满足f(s2)<0;由f(﹣lna)>0,即﹣lna﹣1>0,解得0<a<e﹣1;取s1=0,满足s1∈(﹣∞,﹣lna),且f(s1)=﹣a<0,取s2=+ln,满足s2∈(﹣lna,+∞),且f(s2)=(﹣)+(ln﹣)<0;∴a取值范畴是(0,e﹣1).(Ⅱ)证明:由f(x)=x﹣aex=0,得a=,设g(x)=,由g′(x)=,得g(x)在(﹣∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,并且当x∈(﹣∞,0)时,g(x)≤0,当x∈(0,+∞)时,g(x)≥0,x1、x2满足a=g(x1),a=g(x2),a∈(0,e﹣1)及g(x)单调性,可得x1∈(0,1),x2∈(1,+∞);对于任意a1、a2∈(0,e﹣1),设a1>a2,g(X1)=g(X2)=a1,其中0<X1<1<X2;g(Y1)=g(Y2)=a2,其中0<Y1<1<Y2;∵g(x)在(0,1)上是增函数,∴由a1>a2,得g(Xi)>g(Yi),可得X1>Y1;类似可得X2<Y2;又由X、Y>0,得<<;∴随着a减小而增大;(Ⅲ)证明:∵x1=a,x2=a,∴lnx1=lna+x1,lnx2=lna+x2;∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln,设=t,则t>1,∴,解得x1=,x2=,∴x1+x2=…①;令h(x)=,x∈(1,+∞),则h′(x)=;令u(x)=﹣2lnx+x﹣,得u′(x)=,当x∈(1,+∞)时,u′(x)>0,∴u(x)在(1,+∞)上是增函数,∴对任意x∈(1,+∞),u(x)>u(1)=0,∴h′(x)>0,∴h(x)在(1,+∞)上是增函数;∴由①得x1+x2随着t增大而增大.由(Ⅱ)知,t随着a减小而增大,∴x1+x2随着a减小而增大.【点评】本题考查了导数运算以及运用导数研究函数单调性与极值问题,也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题能力,是综合型题目.

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